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\pagestyle{empty}

%opening

\begin{document}
%\maketitle
\sffamily 

\begin{flushright}
	\begin{small}
		Hendrik Vondracek\\
		\today 
	 \end{small}
\end{flushright}
\vspace{25pt}


\begin{huge}EP III - Seminar\end{huge}\\

\begin{Large}Auswahlregeln (Kap. 6.3.) \end{Large}

\vspace{20pt}
\begin{description}
 \item[Motivation \hspace{5pt}]

Beobachtet man ein Spektrum, so ist festzustellen, dass nicht jeder mögliche Übergang auch beobachtet werden kann. Neben der Energieerhaltung sind nämlich zudem Symmetrieüberlegungen und die Drehimpulserhaltung zu berücksichtigen. Es ist $A_{ik}$ ein Einsteinkoeffzient und bezeichnet zudem die Wahrscheinlichkeit (je Sekunde), dass ein Atom vom Energiezustand $E_i$ spontan in den Zustand $E_k$ übergeht. Bei einem solchen Übergang wird ein Photon der Energie $E_{ph} = h \nu_{ik}$ emittiert. Betrachtet man $N$ Atome im Zustand $E_i$ so lässt sich die mittlere emittierte Leistung über die Definitionen:
\begin{flalign*}
 \langle P \rangle = N_i \cdot A_{ik} \cdot h \cdot \nu_{ik} \text{mit} \\
 A_{ik} = \frac{2}{3} \frac{q^2\omega_{ik}^3}{\epsilon_0 c^3 h} | \int \psi_i^* \textbf{r} \psi_k d \tau | ^2
\end{flalign*}
beschreiben. Wichtig ist, dass das Übergangsdipolmoment (oder auch Dipolmatrixelement) mindestens eine von 0 verschiedene Komponente hat. Man betrachtet also $ \textbf{M}_{ik} = q \psi_i^* \textbf{r} \psi_k d \tau$ in einzelnen Komponenten:
\begin{flalign*}
 \textbf{M}_{ik} (x) = q \psi_i^* x \psi_k d \tau \\
\textbf{M}_{ik} (y) = q \psi_i^* y \psi_k d \tau \\
\textbf{M}_{ik} (z) = q \psi_i^* z \psi_k d \tau
\end{flalign*}
Um dies näher auszuwerten können, soll ein einfaches Beispiel gewählt werden - in diesem Fall ein Wasserstoffatom unter Vernachlässigung des Elektronenspins. Es ist dann $\Psi_{n,l,m_l} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot R_{n,l}(r) \cdot \Theta^l_m (\vartheta) e^{im\varphi}$. \\
Als Quantisierungsachse wird (wie schon oft) die z-Achse gewählt.
Schreibt man nun $\textbf{M}_{ik} (z)$ auf, so zeigt sich, dass tatsächlich keine der drei Komponenten ($r$,$\varphi$,$\vartheta$) null werden darf um zu verhindern, dass die Übergangswahrscheinlichkeit 0 wird. Es gilt nämlich:\\
\begin{flalign*}
 \text{\textbf{M}}_{ik} (z) = \frac{1}{2\pi} \int_{r=0}^\infty R_i R_k r^3 dr \cdot \int_{\vartheta=0}^{2\pi} \theta_{m_k}^{l_k} \theta_{m_i}^{l_i} \sin{\vartheta} \cos{\vartheta} d \vartheta \cdot \int_{\varphi=0}^{2\pi} e^{i(m_k-m_i)\varphi} d \varphi
\end{flalign*}
 \item[Auswahlregeln für m \hspace{5pt}]
Damit der letzte Faktor des Dipolmatrixelements $\neq 0$ ist, muss in der z-Komponente gelten:
\begin{flalign*}
 m_i - m_k = \Delta m = 0
\end{flalign*}
Betrachtet man nun noch die x- und y-Komponenten als komplexe Linearkombinationen $\text{\textbf{M}}_{ik} (x) \pm \text{\textbf{M}}_{ik} (y)$, so ergibt sich $\Delta m = \pm 1$.
Auf eine explizite Berechnung soll hier verzichtet werden. Wichtig ist jedoch anzumerken, dass in der x- und y-Komponente zirkular polarisiertes Licht und in der z-Komponente linear polarisiertes Licht beschrieben wird. Abschließend kann zusammengefasst werden:
\begin{center}
% use packages: array
\begin{tabular}{lll}
Photon & Absorption & Emission \\ 
$\sigma^+$ $\textbf{s}_{phot} \uparrow\uparrow k$ & $\Delta m = +1$ & $\Delta m = -1$ \\ 
$\sigma^-$ $\textbf{s}_{phot} \downarrow\uparrow k$ & $\Delta m = -1$ & $\Delta m = +1$ \\ 
$\pi \langle \textbf{s} \rangle = 0$ & $\Delta m = 0$ & $\Delta m = 0$
 \end{tabular}
 \end{center}
\item[Auswahlregeln für l \hspace{5pt}]
Nachdem sichergestellt wurde, dass der dritte Integralterm des Produkts $\neq 0$ ist, soll dies auch für den zweiten Term gewährleistet werden. Es lässt sich zeigen, dass aus dieser Forderung ($\int_{\vartheta=0}^{2\pi} \theta_{m_k}^{l_k} \theta_{m_i}^{l_i} \sin{\vartheta} \cos{\vartheta} d \vartheta \neq 0$ und $\int_{\vartheta=0}^{2\pi} \theta_{m_k}^{l_k} \theta_{m_i}^{l_i} \sin{\vartheta}^2 d \vartheta \neq 0$) folgt, dass gelten muss:
\begin{flalign*}
 l_i - l_k = \Delta l = \pm 1
\end{flalign*}
Am Einfachsten lässt sich dies durch das Betrachten von Paritäten zeigen: Die Wellenfunktionen der beiden beteiligten Übergänge müssen unterschiedliche Paritäten haben. 
\item[Auswahlregeln für s \hspace{5pt}]
Da sich der Gesamspin $S$ bei optischen Übergängen nicht änder (wie sich auch zeigen lässt) muss immer gelten 
\begin{flalign*}
 \Delta S = 0
\end{flalign*}
Dies bedeutet, dass Übergänge vom Singulett- ins Triplettsystem verboten sind. Dies gilt streng nur bei leichten Atomen. Bei schweren Atomen wird die Spin-Bahn-Kopplung stärker und verbotene Übergänge werden möglich. Sie sind dann als schwache Interkombinationslinien zu beobachten. \\
Außerdem bleibt anzumerken, dass nur der Betrag des Gesamspins erhalten ist - seine Richtung relativ zum Bahndrehimpuls darf sich bei erlaubten Übergängen durchaus ändern.
\item[Auswahlregeln für j \hspace{5pt}]
Aus den Auswahlregeln für l,s folgt unmittelbar:
\begin{flalign*}
\Delta j = 0, \pm 1 \text{aber nicht} j_i = 0 \rightarrow j_k = 0
\end{flalign*}
Wie wird nun $\Delta j = 0$ möglich, wo doch $\Delta l = \pm 1$ und $\Delta s = 0$ gilt?
Grundlage hierfür ist, dass die Elektronen tatsächlich $\Delta s = -0$, $\Delta l = -1$ erfüllen, sich die zugehörigen Vektoren $\textbf{s}$, $\textbf{l}$ jedoch dergestalt umorientieren, dass die Länge von \textbf{j} erhalten bleibt. Es tritt dann $\Delta m_s = \mp 1$ auf.\\
\item[Zusammenfassung \hspace{5pt}]
\begin{center}
% use packages: array
\begin{tabular}{ll}
\underline{\textbf{Auswahlregel}} & \underline{\textbf{Bemerkungen}} \\ 
$\Delta l = \pm 1$ (1 e-) & $\Delta l$ gilt streng \\
$\Delta L = \pm 1$ (n e-) bei L-S-Kopplung & gerade Zustände kombinieren nur mit Ungeraden \\ 
$\Delta M = 0,\pm 1$& $\Delta M = 0$: linear polarisiertes Licht; $\Delta M = \pm 1$: zirkular polarisiertes Licht  \\ 
$\Delta S = 0$ & für leichte Atomen; bei schwereren Atome treten Interkombinationslinien auf \\ 
$\Delta J =0, \pm 1$ & $J = 0 \Rightarrow J = 0 $ ist verboten.
\end{tabular}
\end{center}
\item[Anmerkungen \hspace{5pt}]
\begin{itemize}
 \item Auf eine ausführlicher Darstellung soll hier verzichtet werden - es sei auf das Skript und den Demtröder verwiesen
 \item Insbesondere sollen keine Multipol-Übergänge höherer Ordnung betrachtet werden
 \item Als Übungsaufgabe bietet sich u.U. Demtröder 3, S. 253, Aufgabe 1 an, auch wenn diese reichlich komppliziert scheint.
\end{itemize}

\end{description}
\end{document}
