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\begin{document}
%\maketitle
\sffamily 

\begin{flushright}
	\begin{small}
		Miriam Kümmel\\
		\today 
	 \end{small}
\end{flushright}
\vspace{25pt}


\begin{huge}EP III - Seminar\end{huge}\\

\begin{Large}Das Bohr'sche Atommodell \end{Large}

\vspace{20pt}
\begin{description}
 \item[Beobachtung - Atomspektren \hspace{5pt}]
Alle \"{U}berg\"{a}nge von Elektronen zwischen den einzelnen Niveaus f\"{u}hren zur Absorption oder Emission eines Photons.
$$h\nu =E_2-E_1=\left( -\frac{RyhcZ^2}{n_2^2}\right) \left( -\frac{RyhcZ^2}{n_1^2}\right) =RyhcZ^2\left( \frac{1}{n_2^2}-\frac{1}{n_1^2}\right)=Ry^{\ast}Z^2\left( \frac{1}{n_2^2}-\frac{1}{n_1^2}\right)\qquad n_2<n_1$$
$$\nu _k=\frac{1}{\lambda _k}=RyZ^2\left( \frac{1}{n_2^2}-\frac{1}{n_1^2}\right)$$
Mit der Wellenzahl $\nu _k$ und der Rydbergkonstanten $Ry^{\ast}=Ry\cdot h\cdot c=\frac{me^4}{8\epsilon _0^2h^2}$. Die Rydbergkonstante ist also abh\"{a}ngig von der reduzierten Masse $m$.
\begin{enumerate}
\item Lyman-Serie $n_2=1$ (UV)
\item Balmer-Serie $n_2=2$ (sichtbar)
\item Paschen-Serie $n_2=3$ (IR)
\end{enumerate}
Bei $n\rightarrow \infty$ ist der Nullpunkt der Energieskala definiert. Negative Energiewerte kennzeichnen also gebundene Zust\"{a}nde der Elektronen.
\item[Erkl\"{a}rung - Bohrsches Atommodell\hspace{5pt}]
Die Bohrschen Postulate sind:
\begin{enumerate}
\item Die Elektronen bewegen sich strahlungsfrei auf stabilen Kreisbahnen um den Atomkern.
\item Die stabilen Radien sind diskret. Mit $E_{n_1}$ die Energie des Ausgangszustands und $E_{n_2}$ die Energie des Zielzustands, dann wird bei dem entsprechenden Bahn\"{u}bergang ein Lichtquant der Frequenz $\nu = \frac{(E_{n_1} - E_{n_2})}h$ emittiert bzw. absorbiert.
\item Der Bahndrehimpuls L ist quantisiert mit $L = n \hbar$.
\end{enumerate}
Bohr betrachtet also das Elektron zun\"{a}chst als klassisches Teilchen, dass sich auf einer Kreisbahn um den Atomkern bewegt. Mit der reduzierte Masse $m=\frac{m_em_K}{m_e+m_K}$ wird das Kr\"{a}ftegleichgewicht von Zentrifugalkraft $F_Z$ und elektromagnetischer Anziehung durch die Coulombkraft $F_C$ zu:
$$F_Z=m\frac{v^2}{r}=\frac{1}{4\pi \epsilon _0}\frac{Z}{r^2}e^2=F_C$$
Bohr fordert, dass der Drehimpuls quantisiert sein muss: $L=mrv=mrn\frac{h}{2\pi rm}=n\hbar=r\times p=r\times \frac{h}{\lambda _e}$ D.h., dass das Elektron durch die de-Broglie-Wellenl\"{a}nge beschreibbar sein muss:
$$2\pi r=n\lambda _d\quad \lambda _d=\frac{h}{mv},\: n\in \mathbb{N}\quad \Rightarrow v=n\frac{h}{2\pi rm}$$
Diese Bedingung erlaubt nur diskrete Werte f\"{u}r die Bahnradien:
$$\boxed{r_n=n^2\frac{h^2\epsilon _0}{\pi mZe^2}=\frac{n^2}{Z}a_0}$$
$a_0=\frac{h^2\epsilon _0}{\pi me^2}=5,2917\cdot 10^{-11}m$ bezeichnet den Bohr'schen Atomradius.\newline
Die potentielle Energie des Elektrons ist: $E_{pot}=QU=\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon _0r}$\newline
Die kinetische Energie des Elektrons ist: $E_{kin}=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon _0r}=-\frac{1}{2}E_{pot}$\newline
Als Gesamtenergie ergibt sich damit:
$$\boxed{E_n=E_{kin}+E_{pot}=\frac{1}{2}E_{pot}=-\frac{Ze^2}{8\pi\varepsilon _0r}=\frac{Ze^2}{8\pi\epsilon _0}\frac{\pi mZe^2}{n^2h^2\epsilon _0}=-\frac{me^4}{8\epsilon ^2_0h^2}\frac{Z^2}{n^2}=-Ry\frac{Z^2}{n^2}}$$
Das \textbf{Korrespondenzprinzip} bedeutet, dass die Aussagen der Quantentheorie \"{u}ber ein atomares System im Grenzfall gro\ss er Quantenzahlen mit den Aussagen der klassischen Theorie \"{u}bereinstimmen und die aus der klassischen Theorie erhaltenen Auswahlregeln f\"{u}r den gesamten Bereich der Quantenzahlen gelten.\newline
In der klassischen Physik ist die Frequenz der abgestrahlten Photonen bei \"{U}berg\"{a}ngen zwischen zwei Elektronenbahnen gegeben als:
$$\nu _{klassisch}=\frac{v}{2\pi r}=n\frac{h}{2\pi m}\frac{1}{2\pi}\left( \frac{\pi mZe^2}{n^2h^2\epsilon _0}\right) ^2=\frac{mZe^4}{4\epsilon _0n^3h^3}$$
In der Quantenphysik ist die Frequenz der abgestrahlten Photonen bei \"{U}berg\"{a}ngen zwischen zwei Elektronenbahnen gegeben als:
$$\nu _{Quantenphysik}=\frac{mZe^4}{8\epsilon _0h^3}\left( \frac{1}{n_2^2}-\frac{1}{n_1^2}\right) =\frac{mZe^4}{8\epsilon _0h^3}\frac{(n_1+n_2)(n_1-n_2)}{n_1^2n_2^2}$$
mit $n_1-n_2=\Delta n=1\lll n_1, n_2$ und $n_1, n_2 \approx n\ggg 1$ ergibt sich:
$$\nu _{Quantenphysik}=\frac{mZe^4}{8\epsilon _0h^3}\frac{2n\Delta n}{n^4}=\frac{mZe^4}{4\epsilon _0n^3h^3}$$
Der niedrigste Energiezustand ist mit $E=-Ry$ bzw. $n=1$ definiert. Dies steht in Einklang mit der Unsch\"{a}rferelation. Betrachtet man ein Atom mit dem Durchmesser $a$ ist die Ortsunsch\"{a}rfe des Elektrons gegeben als $\Delta x=a$.\newline
Daraus ergibt sich als Mindestimpuls $\Delta p=\frac{\hbar}{a}$ und folglich als kinetische Energie $E_{kin}=\frac{\Delta p^2}{2m}=\frac{\hbar^2}{2ma^2}$.\newline
Die potentielle Energie des Elektrons im Abstand $a$ im E-Feld des Kerns ist: $E_{pot}=-\frac{e^2}{4\pi \epsilon _0a}$.\newline
Demnach ist die Gesamtenergie: $E=\frac{\hbar^2}{2ma^2}-\frac{e^2}{4\pi \epsilon _0a}$.\newline
Daraus berechnet sich als minimaler Atomradius $a_{min}=\frac{h^2\epsilon _0}{\pi me^2}=a_0$\newline
denn $\frac{dE}{da}=-\frac{2\hbar^2}{2ma^3}+\frac{e^2}{4\pi \epsilon _0a^2}=-\frac{1}{a^3}\left( \frac{\hbar^2}{m}-\frac{e^2a}{4\pi \epsilon _0}\right) =0\Leftrightarrow \frac{\hbar^2}{m}=\frac{e^2a}{4\pi \epsilon _0}\Leftrightarrow a=\frac{\hbar ^24\pi \epsilon _0}{me^2}=\frac{h^2\epsilon _0}{\pi me^2}$.\newline
Demnach wird die minimale Energie $E_{min}=-\frac{me^4}{8\epsilon _0^2h^2}=-Ry^{\ast}$.\newline
Die Unsch\"{a}rferelations bedingt also automatisch den niedrigsten Zustand im Bohr'schen Atommodell.\newline
Die quantisierte Energieabgabe oder -aufnahme der Atome l\"{a}sst sich am \textbf{Frank-Hertz-Versuch} demonstrieren.
\item[Aufgaben\hspace{5pt}]
\begin{enumerate}
\item Wie ist das Bohr'sche Atommodell aufgebaut? (Skript)
\item Wie entsteht die Quantisierungsbedingung? (Skript)
\item Wie ergibt sich aus dem Bohr'schen Atommodell die Linienemission?  (Skript)
\item Was ist das Korrespondenzprinzip? (Skript)
\item Blatt 4 Aufgabe 10: Anregung von Rydberg-Zust\"{a}nden (Aufgabenzettel)
\item Wie gro\ss\ sind Bahnradius und Geschwindigkeit $v$ des Elektrons auf der ersten Bohrschen Bahn mit $n=1$
\begin{enumerate}
\item im H-Atom (Z=1)
\item im Goldatom (Z=79)
\end{enumerate}
(Demtr\"{o}der)
\item Freie Neutronen haben eine mittlere Lebensdauer von $\tau =900s$. Nach welcher Strecke $x$ ist die Zahl der Neutronen der de-Broglie-Wellenl\"{a}nge $\lambda =1nm$ in einem parallelen Neutronenstrahl auf die H\"{a}lfte ihres Anfangswertes gesunken? (Demtr\"{o}der)
\item Bestimmen Sie die Wellenl\"{a}nge der Lyman-$\alpha$-Linie 
\begin{enumerate}
\item f\"{u}r Tritiumatome,
\item f\"{u}r Positronium $e^+e^-$.
\end{enumerate}
(Demtr\"{o}der)
\item Ein Einelektronenatom habe die Energieniveaus $E_n=-\frac{a}{n^2}$. Man findet im Spektrum zwei benachbarte Absorptionslinien mit $\lambda _1=97,5nm$ und $\lambda _2=102,8nm$. Wie groß ist die Konstante $a$? (Demtr\"{o}der)
\item Die Balmerserie des Wasserstoffspektrums soll mit einem Gitterspektrographen mit dem spektralen Aufl\"{o}sungsverm\"{o}gen $\frac{\lambda}{\Delta \lambda}=5\cdot 10^5$ gegemessen werden. Bis zu welchem Zustand $E_n$ k\"{o}nnen zwei benachbarte Linien noch aufgel\"{o}st werden? (Demtr\"{o}der)
\item F\"{u}nf Linien in der Balmer-Serie von Wasserstoff haben die Wellenl\"{a}ngen 3669,42 Angstr\"{o}m, 3770,06 Angstr\"{o}m, 3835,40 Angstr\"{o}m, 3970,07 Angstr\"{o}m und 4340,47 Angstr\"{o}m. Tragen Sie f\"{u}r die Balmer-Serie $\nu$ als Funktion von $n$ auf. Bestimmen Sie daraus den Wert von n f\"{u}r das obere Niveau zu jeder der f\"{u}nf angegebenen Wellenl\"{a}ngen. (Quantenphysik und statistische Physik, Alonso/Finn)
\item Berechnen Sie die Wellenl\"{a}ngendifferenz zwischen den H$_{\alpha}$-Linien (d.h. f\"{u}r den \"{U}bergang $n=3$ nach $n=2$)von Wasserstoff, Deuterium und Tritium, die von dem Massenunterschied dieser Atome herr\"{u}hrt. (Quantenphysik und statistische Physik, Alonso/Finn)
\item Welche Linien des Wasserstoffspektrums fallen in das sichtbare Gebiet des Spektrums (zwischen 4000 und 7000 Angstr\"{o}m)? Welche Linien von He$^+$ fallen in denselben Bereich? Wie k\"{o}nnte man erkennen, ob Wasserstoff einer Helimprobe zugemischt ist? (Quantenphysik und statistische Physik, Alonso/Finn)
\end{enumerate}
\item[Literatur\hspace{5pt}]
\begin{itemize}
\item Skript S. 50-56
\item Demtr\"{o}der S. 101-109
\item Alonso/Finn S. 126,158
\end{itemize}
\end{description}
\end{document}
