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\begin{document}
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\sffamily 

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		\today 
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\vspace{25pt}


\begin{huge}EP III - Seminar\end{huge}\\

\begin{Large}Drehimpulskopplung \end{Large}

\vspace{20pt}
Es gibt unterschiedliche Varianten, wie die einzelnen Drehimpulse zu einem Gesamtdrehimpuls koppeln. Dies h\"{a}ngt im wesentlichen davon ab, wie stark die Kopplung zwischen $\vec{l}$ und $\vec{s}$ eines einzelnen Elektron (gem\"{a}\ss\ Feinstrukturaufspaltung) im Vergleich zur Kopplung der einzelnen Bahndrehimpulse $\vec{l}_i$ untereinander ist.\newline
Die Kopplung ist immer Folge der Erniedrigung der Energie im System, wenn sich das magnetische Moment eines Teilchens $\vec{\mu}_1$ in einem internen Magnetfeld $B_2$, das durch ein anderes Telchen erzeugt wird, ausrichtet. Die St\"{a}rke der inneren Magnetfelder $B_2$ entscheidet, welche Drehimpulse wie miteinander koppeln.
Die Multiplettaufspaltung sinkt mit zunehmenden Werten von n.
\begin{description}
\item[Kopplung der Feinstrukturaufspaltung]
Die Kreisbewegung des Elektrons entspricht einem Drehimpuls $\vec{l}$. Vom Ruhesystem des Elektrons aus betrachtet, erzeugt der Kreisstrom des  Atomkerns mit positiver Ladung ein Magnetfeld, das in die selbe Richtung wie $\vec{l}$ zeigt. Das magnetische Moment des Elektrons $\vec{\mu}_s$ zeigt entgegen dem Spin $\vec{s}$, da es ein negativ geladenes Teilchen ist. Eine Erniedrigung der Energie erh\"{a}lt man nur bei einer parallelen Ausrichtng des Magnetfeldes und des magnetischen Moments. Dies bedeutet f\"{u}r die Feinstrukturaufspaltung einen g\"{u}nstigeren Energiezustand f\"{u}r die anti-paralllele Orientierung von $\vec{s}_z$ und $\vec{s}_z$.
\item[Kopplung der Hyperfeinstrukturaufspaltung] 
Die Kreisbewegung des Elektrons erzeugt ein Magnetfeld $\vec{B}_j$ am Kernort, das wieder in entgegengesetzte Richtung zum Gesamtdrehimpuls $\vec{j}$ zeigt. Das magnetische Moment des Protons $\vec{\mu}_i$ zeigt in dieselbe Richtung wieder Kernspin $\vec{I}$, da das Proton ein positives Teilchen ist. D.h. man bekommt bei der Hyperfeinstrukturaufspaltung wieder eine Erniedrigung der Energie, wenn $\vec{\mu}_{I,z}$  und $\vec{B}_j$ parallel sind und damit $\vec{j}_z$ und $\vec{I}_z$ anti-parallel.
\item[Kopplung von zwei Bahndrehimpulsen]
Bei der Kopplung der Drehimpulse von zwei Elektronen $\vec{I}_1$ und $\vec{I}_2$ zeigen sowohl das erzeugte Magnetfeld $\vec{B}_{l,1}$ und $\vec{B}_{l,2}$ als auch das magnetische Moment $\vec{\mu}_{l,1}$ und $\vec{\mu}_{l,2}$ jeweils in die entgegengesetzte Richtung von $\vec{I}_1$ und $\vec{I}_2$. D.h. eine parallele Ausrichtung des magnetischen Moments $\vec{\mu}_{1,z}$ von Elektron 1 im internen Magnetfeld $\vec{B}_{l,2}$ das durch Elektron 2 am Ort von Elektron 1 erzeugt wird, f\"{u}hrt zu einer Erniedrigung des Energieeigentwertes des Gesamtsystems.
 \item[LS-Kopplung \hspace{5pt}]
Bei der LS-Kopplung ist die elektrostatische Wechselwirkung aller Elektronen (die Kopplungsenergien zwischen ihren magnetischen Bahnmomenten $W_{l_i,l_j}=a_{ij}\vec{l}_i\vec{l}_j$ und zwischen ihren Spinmomenten $W_{s_i,s_j}=b_{ij}\vec{s}_i\vec{s}_j$) gro\ss\ im Vergleich zur Spin-Bahn-Wechselwirkung einzelner Elektronen (Kopplungsenergie $W_{l_i,s_i}=c_{ii}\vec{l}_i\vec{s}_i$ zwischen dem magnetischen Bahnmoment $\vec{\mu}_{l_i}=\mu _B\vec{l}_i$ eines Elektrons und seinem magnetischen Spinmoment $\vec{\mu}_{s_i}=g_s\mu _B\vec{s}_i$). Die Spin-Bahn-Kopplung jedes Elektrons wird aufgebrochen. Statt dessen koppeln die einzelnen Bahndrehimpulse $\vec l_i$ zu einem Gesamtdrehimpuls $\vec{L}$:
$$\vec{L}=\Sigma _i \vec{I}_i$$
$$\vec{L_z}=\Sigma _i \vec{I}_{z,i}$$
und die Spinmomente $\vec s_i$ zu einem Gesamtspin:
$$\vec{S}=\Sigma _i \vec{s}_i$$
$$\vec{S_z}=\Sigma _i \vec{s}_{z,i}$$
Hierbei gilt zu beachten, dass in der Quantenmechanik nur die z-Komponente und die L\"{a}nge des Drehimpulses charakterisiert ist. Damit die L\"{a}nge des Vektors $\vert \vec{L}\vert$ mit ganzzahligem $L$ beschrieben werden kann, ist die Orientierung der einzelnen Bahndrehimpulse $\vec{l}_i$ in der xy-Ebene nicht mehr beliebig. Nach der Festlegung des Gesamt-Bahndrehimpulses $\vec{L}$ und des Gesamtspins $\vec{S}$, koppeln $\vec{L}$ und $\vec{S}$ untereinander zu einem Gesamtdrehimpuls $\vec{J}$, der Werte zwischen $J=L+S$ und $J=L-S$ annehmen kann:
$$\vec{J}=\vec{L}+\vec{S}$$
Die Energien der Feinstrukturkomponenten sind $$E_j=E(n,L,S)+C\vec{L}\vec{S}$$
Die Konstante $C$ hat die Maßeinheit $[C]=kg^{-1}m^{-2}$.\newline
Wegen $$\vec{J}^2=\left( \vec{L}+\vec{S}\right) ^2=\vec{L}^2+2\vec{L}\vec{S}+\vec{S}^2$$
erh\"{a}lt man f\"{u}r die Feinstrukturenergien
$$C\vec{L}\vec{S}=\frac{1}{2}C\left( \vec{J}^2-\left( \vec{L}^2+\vec{S}^2\right) \right) =\frac{1}{2}C\left[ J\left( J+1\right) -L\left( L+1\right) -S\left( S+1\right) \right]\hslash$$
Diese Form der Spin-Bahn-Kopplung dominiert bei Atomen mit kleinen Kernladungszahlen bis etwa Kohlenstoff. 
\item[jj-Kopplung \hspace{5pt}]
Die jj-Kopplung ist die Form der Spin-Bahn-Kopplung, die bei schweren Atomen mit großen Ladungszahlen Z (z.B. bei Blei) vorherrscht. Bei der jj-Kopplung ist die elektrostatische Wechselwirkung aller Elektronen klein im Vergleich zur Summe aller Spin-Bahn-Wechselwirkungen einzelner Elektronen, die Kopplung zwischen $\vec{l}_i$ uns $\vec{s}_i$ eines einzelnen Elektrons mit Index $i$ immer st\"{a}rker, da diese gem\"{a}\ss\ Feinstrukturaufspaltung mit der Kernaldungszahl $Z^4$ skaliert. Der Gesamtbahndrehimpuls $\vec L$ und Gesamtspin $\vec S$ sind nicht mehr definiert, man sagt „die LS-Kopplung bricht auf“.
    $$\vec j_i=\vec l_i+\vec s_i$$
Die $\vec j_i$ koppeln zum Gesamtdrehimpuls $\vec J$:
    $$\vec J=\sum_i \vec j_i$$ 
In der Regel ist die LS-Kopplung bzw. die jj-Kopplung nur in den Grenzf\"{a}llen sehr kleiner bzw. sehr gro\ss er Kernladungszahl Z erf\"{u}llt. F\"{u}r mittlere Kernladungszahlen liegt eine Mischung der einzelnen Kopplungsvarianten in einem Atom vor.
\item[Aufgaben\hspace{5pt}]
\begin{enumerate}
\item Wie koppeln die Drehimpulse der Elektronen untereinander? (Skript)
\item Wann gilt welche Art der Kopplung und warum? (Skript)
\item Zwei \"{a}quivalente p-Elektronen haben eine starke Spin-Bahn-Kopplung. Bestimmen Sie die m\"{o}glichen Werte des resultierenden Drehimpulses $\vec{J}$ unter der Annahme der j-j-Kopplung. Wiederholen Sie die Aufgabe unter Annahme von L-S-Kopplung. Tritt derselbe Wert von $J$ in beiden F\"{a}llen gleich h\"{a}ufig auf? (Alonso/Finn)
\item In L-S-Kopplung kann man das magnetische Moment eines Atoms zu $M=-\frac{e}{2m_e}g\vec{J}$ erhalten. Dabei ist J der Gesamtdrehimpuls des Atoms, und $g=1+\frac{\vec{S}\vec{J}}{j^2}=1+\frac{J(J+1)+S(S+1)-L(L+1)}{2J(J+1)}$. Berechnen Sie g f\"{u}r Kalzium und Aluminium. Untersuchen Sie die Aufspaltung eines 3p-Terms in einem schwachen Magnetfeld. Bestimmen Sie ebenfalls die Aufspaltung in einem starken Magnetfeld. (Alonso/Finn)
\item Disktuieren Sie den Zeemann-Effekt bei schwachen und starken Magnetfeldern f\"{u}r die \"{U}berg\"{a}nge $^3F\rightarrow ^3D$ und $^1F\rightarrow ^1D$ in Kalzium. (Alonso/Finn)
\item Die relative Aufspaltung der verschiedenen Niveaus eines L-S-J-Multiplets infolge der Spin-Bahn-Wechselwirkung kann als proportional zu $\vec{S}\vec{L}$ angenommen werden. Wenden Sie diese Beziehung auf die $^3F$- und $^3D$-Multipletts an. Zeichnen Sie die Energieniveaus dieser Multipletts und deuten Sie druch die Pfeile die erlaubten \"{U}berg\"{a}ngen an. (Alonso/Finn)
\end{enumerate}
\item[Literatur\hspace{5pt}]
\begin{itemize}
\item Skript S. 138-143
\item Demtr\"{o}der S. 201-205
\item Alonso/Finn S. 180-187
\end{itemize}
\end{description}
\end{document}
