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\begin{document}
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\sffamily 

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		\today 
	 \end{small}
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\vspace{25pt}


\begin{huge}EP III - Seminar\end{huge}\\

\begin{Large}Hyperfeinstruktur\end{Large}

\vspace{20pt}
\begin{description}
 \item[Beobachtung \hspace{5pt}]
Bei sehr hoher spektraler Aufl\"{o}sung findet man experimentell, dass jede der beiden Feinstrukturkomponenten der \"{U}berg\"{a}nge wieder in zwei Komponenten aufspaltet, deren Abstand beim H-Atom kleiner ist als die Dopplerbreite. Daher ist die \textbf{Hyperfeinstruktur} nur mit dopplerfreien spektroskopischen Methoden aufl\"{o}sbar.
 \item[Erkl\"{a}rung \hspace{5pt}]
Wegen ihrer r\"{a}umlichen Ausdehnung besitzen die Atomkerne einen mechanischen Drehimpuls $\vec{I}$, den \textbf{Kernspin} mit der Kernspinquantenzahl $I$. Der Spin des Atomkerns setzt sich aus der Summer der Spin $\frac{1}{2}$-Teilchen der Protonen und Neutronen zusammen.
$$\vert \vec{I}\vert =\sqrt{I(I+1)}\cdot \hslash$$
So wie sich die Feinstruktur auf Kopplung des Elektronenspins mit dem Bahndrehimpuls zur\"{u}ckf\"{u}hren l\"{a}sst, kann man auch die Hyperfeinstruktur auf die Kopplung des Kernspins $\vec{I}$ mit dem Gesamtdtehimpuls $\vec{j}$ des Elektrons bzw. dem vom Gesamtdrehimpuls erzeugten inneren Magnetfeld $\vec{B}_j$ zur\"{u}ckf\"{u}hren.\newline
Analog zum Elektronendrehimpuls kann die Projektion auf die $z$-Richtung die $(2I+1)$ Werte
$I_z=m_I\cdot \hslash$ mit $-I\leq m_I\leq I$ annehmen.\newline
Mit dem Kernspin $I$ ist \"{u}ber das gyromagnetische Verh\"{a}ltnis $\gamma _K$ ein magnetische Kernmoment $\vec{\mu}_I$ verkn\"{u}pft:
$$\vec{\mu}_I=\gamma _K\vec{I}$$
Analog zum Bohrschen Magneton wird als Einheit das \textbf{Kernmagneton} eingef\"{u}hrt:
$$\mu _K=\frac{e}{2m_p}\cdot \hslash =\frac{m_e}{m_p}\frac{e}{2m_e}\cdot \hslash =\frac{m_e}{m_p}\cdot \mu _B=\frac{\mu _B}{1836}=5,05 \cdot 10^{-27}JT^{-1}$$
Mit hilfe dieser Einheit l\"{a}sst sich das gyromagnetische Verh\"{a}ltnis $\gamma _K$ in den dimensionslosen \textbf{Kern-g-Faktor} transformieren:
$$\vec{\mu}_I=\gamma _K\cdot \vec{I}=g_I\cdot \frac{\mu _K}{\hslash}\vec{I}$$
Das magnetische Kernmoment liefert zwei Beitr\"{a}ge zur Aufspaltung und Verschiebung von Energeinieveaus der Elektrionenh\"{u}lle:
\begin{itemize}
\item Die Wechselwirkung des magnetischen Kernmoments mit dem Magnetfeld, das von den Elektronen am Kernort erzeug wird (Zeemann-Effekt des Kernmomentes mit dem atomaren Magnetfeld)
\item Die Wechselwirkung des elektronischen magnetischen Momentes mit dem vom Kernmoment erzeugten Magnetfeld
\end{itemize}
Das magnetische Kernmoment $\vec{\mu}_I$ hat in dem vom Elektron mit dem Drehimpuls $\vec{j}=\vec{l}+\vec{s}$ am Kernort erzeugten inneren Magnetfeld $\vec{B}_j$ die Energie
$$E_{I,j}=-\vec{\mu}_I\cdot \vec{B}_j=-\vert \vec{\mu}_I\vert \cdot \vert \vec{B}_j\vert \cdot cos\left( \measuredangle (\vec{j}, \vec{I})\right) $$
Der Gesamtdrehimpuls $\vec{F}=\vec{j}+\vec{I}$ des Atoms ist eine Erhaltungsgr\"{o}\ss e mit $$\vert \vec{F}\vert =\sqrt{F(F+1)}\cdot \hslash$$
wobei $j-I\leq F\leq j+I$ und  $F_z=m_F\cdot \hslash$
Wegen $\vec{j}\cdot \vec{I}=\frac{1}{2}(F^2-j^2-I^2)$ ergibt sich
$$cos\left( \measuredangle (\vec{j}, \vec{I})\right)=\frac{\vec{j}\cdot \vec{I}}{\vert \vec{j}\vert \cdot \vert \vec{I}\vert}=\frac{1}{2}\frac{F(F+1)-j(j+1)-I(I+1)}{\sqrt{j(j+1)\cdot I(I+1)}}$$
und somit als Energieaufspaltung
$$E_{I,j}=-\vert \vec{\mu}_I\vert \cdot \vert \vec{B}_j\vert \cdot \frac{1}{1}\frac{F(F+1)-j(j+1)-I(I+1)}{\sqrt{j(j+1)\cdot I(I+1)}} $$
Die Hyperfeinenergie des H-Atom betr\"{a}gt dann
$$\Delta E_{HFS}=\frac{A}{2}\cdot \left[ F(F+1)-j(j+1)-I(I+1)\right] $$
$$E_{HFS}=E_{n,l,j}+\frac{A}{2}\cdot \left[ F(F+1)-j(j+1)-I(I+1)\right] $$
wobei die Hyperfeinkonstante $A=\frac{g_I\mu _K B_j}{\sqrt{j(j+1)}}$ vom Gesamtdrehimpuls $\vec{j}$ des Elektrons abh\"{a}ngt.\newline
Das innere Magnetfeld $\vec{B}_j(0)$ am Ort $\vec{r}=0$ des Kerns h\"{a}ngt au\ss er vom Drehimpuls j des Elektrons von seiner r\"{a}umlichen Aufenthaltswahrscheinlichkeit ab, die durch die Wellenfunktion $\vert \psi _{n,l}\vert ^2$ bestimmt wird.
F\"{u}r S-Zust\"{a}nde gilt also
$A=\frac{2}{3}\mu _0 g_e \mu _B g_I \mu_K \vert \psi _n(r=0)\vert ^2$
 \item[Anwendung \hspace{5pt}]
Eine Messung der Hyperfeinstruktur ist gleichzeitig eine Messung der Eigenschaften der Elektronenh\"{u}lle (wegen $B_j$) und eine Messung der Kerneigenschaften (wegen $g_j$). Im Falle von Wasserstoff sind die Kerneigenschaften durch Kernspinresonanzmessungen sehr genau bekannt.  Da $g_I$ f\"{u}r das Proton genau bekannt ist, wurde aus der Messung der Hyperfeinstruktur zum ersten Mal die Abweichung des g-Faktors des Elektrons von 2 bestimmt zu $g_s=2,0023$.\newline
F\"{u}r den Wasserstoff Grundzustand ist $j=I=\frac{1}{2}$ also $F=0$ oder $F=1$. Der magnetische Dipol\"{u}bergang zwischen den beiden Hyperfeinstrukturkomponenten F=0 und F=1 im $1 ^2S_{\frac{1}{2}}$-Zustand hat eine Wellenl\"{a}nge im Mikrowellengebiet. Dieser \"{U}bergangn spielt in der Radioastronomie eine wichtige Rolle, weil seine Messung Auskunft \"{u}ber Dichteverteilung, Geschwindigkeit uen und Temperaturen von Wasserstoffatomen im Universum gibt.
Bei gr\"{o}\ss eren Atomen gibt es weitere Beitr\"{u}ge zur Hyperfeinstruktur, wenn der Atomkern ein elektrisches Quadrupolmoment hat.
 \item[Aufgaben \hspace{5pt}]
\begin{enumerate}
\item Was ist die Hyperfeinwechselwirkung? (Skript)
\item Die Energie infolge der Wechselwirkung zwischen den magnetischen Momenten des Elektrons und des Kerns ist proportional zu $(\frac{\mu _0}{4\pi}\frac{\mu _N \mu_ B}{r^{3}})$ wobei $r$ der Abstand des Elektrons vom Kern ist. Zeigen Sie, dass die Hyperfeinstrukturaufspaltung von der Gr\"{o}\ss enordnung $10^{-5} eV$ ist, was zu einer Hyperfeinstruktur der Spektrallinien der Gr\"{o}\ss enordnung $10^{-2}$ Angstr\"{o}m (Quantenphysik und statistische Physik, Alonso/Finn)
\item Die Hyperfeinaufspaltung ist auch proporional zu $\vec{I}\cdot \vec{J}$, wobei $\vec{I}$ der Kernspin und $\vec{J}$ der Elektronendrehimpuls ist. Analysieren Sie die Hyperfeinstrukturaufspaltung der elektronischen Zust\"{a}nde $^2S_{\frac{1}{2}}$, $^2P_{\frac{1}{2}}$ und $^2P_{\frac{3}{2}}$ des $^{23}$Na ($I=\frac{3}{2}$). Bestimmen Sie jeweils die Anzahl der Niveaus und ihren relativen Abstand. STellen Sie Ihre Resultate in einem Diagramm der Energieniveaus dar. (Quantenphysik und statistische Physik, Alonso/Finn)
 \item[Quellen: \hspace{5pt}]
\begin{enumerate}
\item Skript S. 116-117
\item Demtr\"{o}der S. 166-169
\item Alonso/Finn S. 352
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{description}
\end{document}
