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%opening

\begin{document}
%\maketitle
\sffamily 

\begin{flushright}
	\begin{small}
		Miriam K\"{u}mmel \\
		\today 
	 \end{small}
\end{flushright}
\vspace{25pt}


\begin{huge}EP III - Seminar\end{huge}\\

\begin{Large}LASER \end{Large}

\vspace{20pt}
\begin{description}
\item[Begriff\hspace{5pt}]
Der Begriff Laser ist eine Abk\"{u}rzung und steht f\"{u}r Light Amplification bei Stimulated Emission of Radiation. D.h. ein Laser ist ein optischer Verst\"{a}rker, der auf induzierter Emission basiert.\\
Bei induzierter Emission veranlasst das Strahlungsfeld ein Atom im angeregten Zustand $E_i$ in einen tieferen Zustand $E_k$ \"{u}berzugehen. Das dabei emittierte Photon erh\"{o}ht die Photonenzahl derjenigen Eigenschwingung des Strahlungsfeldes um ein, aus der das induzierende Photon stammt. Die beiden Photonen laufen daher in die gleiche Richtung. Noch mehr: Beide Photonen haben gleiche Energie, gleiche Frequenz, gleiche Wellenl\"{a}nge und sogar gleiche Phasenlage. Sie sind also koh\"{a}rent. Ursache dieser sehr starken Verkopplung ist, dass Photonen Bosonen sind und sich ihre Wellenpakete sehr stark \"{u}berlappen.
\item[Aufbau\hspace{5pt}]
Ein Laser besteht im wesentlichen aus drei Komponenten:
\begin{itemize}
\item aktives Medium: Das aktive Medium ist das Material, in dem die induzierte Emmission statt findet. Dies k\"{o}nnen sein: Festk\"{o}rper (dotierte Kristalle oder Gl\"{a}ser, also Halbleiter), Fl\"{u}ssigkeiten (gel\"{o}ste Farbstoffe) oder Gase.
\item Energiepumpe: Die Energiepumpe regt das aktive Medium in h\"{o}hrere Energiniveaus an, so dass induzierte Emission statt finden kann.
\item optischer Resonator: Der optische Resonator speichert die emittierte Strahlung in wenigen Moden des Strahlungsfeldes.
\end{itemize}
\item[Laserbedingung\hspace{5pt}]
Wenn eine elektromagnetische Welle mit der Frequenz $\nu$ in $z$-Richtung (entlang der Resonator-Achse des Lasers) durch ein Medium l\"{a}uft, \"{a}ndert sich ihre Intensit\"{a}t $I(\nu, z)$ gem\"{a}{\ss} dem Beerschen Absorptionsgesetz:
$$I(\nu, z)=I(\nu, 0)\cdot e^{-\alpha (\nu )\cdot z}$$
Nur wenn $\alpha (\nu )<0$ verst\"{a}rkt sich die Intensit\"{a}t beim Durchlaufen des Mediums. Es gilt:
\begin{align*}
\frac{d\omega _{\nu}}{dt}=\frac{d\omega _{\nu}}{dz}\frac{dz}{dt}=\frac{d\omega _{\nu}}{dz}c,\quad \frac{d\omega _{\nu}}{dz}=-\alpha \omega _{\nu}\\
\Rightarrow \alpha =-\frac{d\omega _{\nu}}{dt}\frac{1}{\omega _{\nu}c}
\end{align*}
Hierbei bezeichnet $\omega _{\nu}$ die spektrale Energie-Dichte. Die Ableitung der spektralen Energie-Dichte nach der Zeit ist:
\begin{align*}
\frac{d\omega _{\nu}}{dt}&=-\frac{h\nu}{\Delta\nu}\frac{dN_i}{dt}&&\vert \frac{dN_i}{dt}=N_kB_{ki}\omega _{\nu}-N_iB_{ik}\omega _{\nu}\\
&=-\frac{h\nu}{\Delta\nu}\left( N_kB_{ki}\omega _{\nu}-N_iB_{ik}\omega _{\nu}\right) &&\\
&=\frac{h\nu}{\Delta\nu}\left( N_iB_{ik}-N_kB_{ki}\right) \omega _{\nu}&&\vert B_{ki}=\frac{g_i}{g_k}B_{ii}\\
&=\frac{h\nu}{\Delta\nu}\left( N_i-\frac{g_i}{g_k}N_k\right) B_{ik}\omega _{\nu}
\end{align*}
wobei $N_i, N_k$ die Besetzungsdichten der Energieniveaus $E_i, E_k$ sind und $B_{ki}, B_{ik}$ die Einstein-Koeffizienten f\"{u}r Absorption und induzierte Emission.
Da also $\alpha (\nu )=\left( N_i-\frac{g_i}{g_k}N_k\right) \sigma (\nu)$ mit $\sigma (\nu)$ der Absorptionsquerschnitt gilt,  muss $N_i-\frac{g_i}{g_k}N_k>0\Leftrightarrow N_i>\frac{g_i}{g_k}N_k$ gelten. Die thermische Besetzungsverteilung entspricht einer Boltzmann-Statistik:
$$\frac{N_i}{N_k}=\frac{g_i}{g_k}e^{-\frac{E_i-E_k}{k_BT}}\Leftrightarrow N_i=\frac{g_i}{g_k}N_k\underbrace{e^{-\frac{E_i-E_k}{k_BT}}}_{<1}\Rightarrow N_i<\frac{g_i}{g_k}N_k$$
Es muss also eine Besetzungsinversion vorliegen, damit der Lichtstrahl beim Durchlaufen des aktiven Mediums verst\"{a}rkt wird.
Um den Absorptionsquerschnitt $\sigma (\nu)$ zu ermitteln, betrachtet man die Lebensdauer $\tau _{Resonator}$ eines Photons im Resonator, die durch Verluste durch Auskopplung aus dem Resonator (Streuung, Laserstrahl) begrenzt ist, und die Lebensdauer $\tau _{Atom}$ des angeregten Zustands.
$$\tau _{Atom}=A_{ik}=\frac{8\pi h\nu ^3}{c^3}B_{ik}\Leftrightarrow B_{ik}=\frac{c^3}{8\pi h\nu ^3}\tau _{Atom}$$
Damit gilt nun:
\begin{align*}
\frac{d\omega _{\nu}}{dt}= \frac{h\nu}{\Delta \nu}\left( N_i-\frac{g_i}{g_k}N_k\right) \omega _{\nu}\frac{c^3}{8\pi h\nu ^3}\frac{1}{\tau _{Atom}}-\frac{\omega _{\nu}}{\tau _{Resonator}}
\end{align*}
\begin{align*}
\Rightarrow \frac{d\omega _{\nu}}{dt}>0&\Leftrightarrow \frac{\omega _{\nu}}{\Delta\nu}\left( N_i-\frac{g_i}{g_k}N_k\right) \omega _{\nu}\frac{c^3}{8\pi \nu ^2}\frac{1}{\tau _{Atom}}-\frac{\omega _{\nu}}{\tau _{Resonator}}>0\\
&\Leftrightarrow \frac{1}{\Delta \nu}\left( N_i-\frac{g_i}{g_k}N_k\right) \frac{c^3}{8\pi \nu ^2}\frac{1}{\tau _{Atom}}>\frac{1}{\tau _{Resonator}}\\
&\Leftrightarrow  N_i-\frac{g_i}{g_k}N_k>\frac{\tau _{Atom}}{\tau _{Resonator}}\frac{8\pi \nu ^2\Delta \nu}{c^3}
\end{align*}
\item[Beispiel 1: Rubin-Laser (3-Niveau-System)\hspace{5pt}]
Beim Rubinlaser besteht das aktive Medium aus einem zylindrischen Al$_2$O$_3$-Stab, der mit Chrom dotiert ist. Die Cr$^{3+}$-Ionen, werden durch Apsotrption des Lichtes einer Blitzlampe in zwei Energieniveaus $E_1, E_2$ gepumpt, die durch Wechselwirkung mit den Festk\"{o}rperatomen stark verbreitert sind und deshalb breitere Intervalleim gr\"{u}nen und blauen Bereich aus dem Spektrakontinuum, der Blitzlampe absorbieren k\"{o}nnen. Die angeregten Atome geben durch Wechselwirkung mit den Gitterschwingungen des Kristalls einen Teil ihrere Energie ab und gehen dabei strahlungslos in das Niveau $E_i$ \"{u}ber. Dieses Niveau bildet das obere Niveau des Laser-\"{U}bergangs.
Unter speziellen Bedingungen kann man kurzzeitig in einem 2-Niveau-System Inversion erhalten, wenn die Pumpzeit kurz gegen alle Relaxationszeiten des Systems ist. Sonst wird bei direktem Pumpen auf das h\"{o}here Niveau des \"{U}bergangs, keine Energie mehr absorbiert, sobald das niedrigere Niveau st\"{a}rker besetzt ist als das h\"{o}here.
\item[Beispiel 2: He-Ne-Laser (4-Niveau-System)\hspace{5pt}]
Der Helium-Neon-Laser wird durch St\"{o}{\ss}e in einer Gasentladung gepumpt. Die meisten angeregten Zust\"{a}nde der He- und Ne-Atome haben kurze Lebensdauern und gehen durch Emission von Fluoreszenz in tiefere Niveaus \"{u}ber. Beim Helium gibt es zwei metastabile Zust\"{a}nde, den $2^1S_0$- ($\Sigma s=0$, $\Sigma m=0$) und den $2^3S_1$-Zustand ($\Sigma s=1$, $\Sigma m=0$), die nicht durch Dipolstrahlung in tiefere Niveaus \"{u}bergehen k\"{o}nnen und lange spontane Lebensdauern $\tau (2^1S_0)\approx 20ms$ bzw. $\tau (2^3S_1)\approx 600s$ haben. Beide metastabile He-Niveaus sind fast in Energieresonanz mit angeregten Zust\"{a}nden des Ne-Atoms. Durch fast resonante St\"{o}{\ss}e zweter Art, di einen sehr gro{\ss}en Wirkungsquerschnitt haben, kann die Anregungsenergie vom He$^{\ast}$ auf Ne \"{u}bertragen werden.
\begin{align*}
 He^{\ast}(2^1S_0)+Ne(2^1S_0)\longrightarrow  He(1^1S_0)+ Ne^{\ast}(5s)& \rightsquigarrow Ne^{\ast}(4p),Ne^{\ast}(3p)\\
 He^{\ast}(2^3S_0)+Ne(2^1S_0)\longrightarrow  He(1^1S_0)+ Ne^{\ast}(4s)& \rightsquigarrow Ne^{\ast}(3p)
\end{align*}
\item[Resonator-Moden\hspace{5pt}] Durch das Reflexionsverm\"{o}gen $R$ der Spiegel gelten im Resonator bestimmte Randbedingungen.\\
Demtr\"{o}der: $\tau _{Resonator}=\frac{2d}{c\cdot ln(R_1\cdot R_2)}$ und $R=\sqrt{R_1\cdot R_2^{\ast}}$\\
Skript: $\frac{1}{\tau _{Resonator}}=\frac{c}{L}(1-R)$\\
Durch die Randbedingung in dem Resonator sind nur bestimmte stehende Wellen zul\"{a}ssig. Je nach Verst\"{a}rkungsprofil k\"{o}nnen mehrere dieser sogenannten Moden beim \"{U}berschreiten der Laserschwelle anschwingen.\\
Ist die Lichtausbreitung parallel zur Resonator-Achse, so bezeichnet man diese Frequenzen als \textbf{longitudianle Moden}. Eine Verkippung der Ausbreitungsrichting entspricht einer sogenannten \textbf{transversalen (elektromagnetischen) Mode (TEM)}. Da das Verst\"{a}rkungsprofil des Resonators in der Regel breiter als der Absttand der einzelnen Moden ist, sieht man in der Regel mehrere eing beieinander liegende Moden. Die einzelnen Moden werden mit der Zahl der Knoten des elektromagnetischen Feldes in die $x$-, $y$- und $z$-Richtung klassifiziert:
$$TEM_{m,n,q}$$
Dabei bezeichnet $m$ die Anzahl der Knoten in $x$-Richtung, $n$ die Anzahl der Knoten in $y$-Richtung und $q$ die Anzahl der Knoten in $z$-Richtung. Oftmals wird der Index $q=\frac{d}{\frac{\lambda}{2}}$ weg gelassen. Die Fundamentalmode $TEM_{0,0}$ entspricht also einer rein longitudinalen Mode.\\
Einen Einmoden-Laser erh\"{a}lt man, indem man einen Interferenzfilter wie z.B. ein Fabry-Perot-Etalon (beidseitig verspiegelte Platte) verwendet.
\item[Erzeugung kurzer Pulse\hspace{5pt}] F\"{u}r die Erzeugung kurzer Pulse gibt es mehrere M\"{o}glichkeiten:\\
\begin{description}
\item[G\"{u}teschaltung\hspace{4pt}]
Bringt man in den Resonator des Lasers ein zus\"{a}tzliches Element, dessen Transmission man steuern kan (z.B. ein drehbarer Spiegel), so erlaubt dies eine Varaition der ``Resonatorg\"{u}te''. Ist die ransmission klein, so wird die Besetzungsinversion sehr stark erh\"{o}ht, da das obere Laserniveau nicht effektiv abgeregt wird. Erh\"{o}ht sich zu einem Zeitpunkt $t_s$ die G\"{u}te des Resonators, so kann die Besetzungsinversion pl\"{o}tzlich effektiv abgebaut werden und es entsteht ein kurzer intensiver Laserpuls. Die L\"{a}nge des Pulses ergibt sich aus der Zeitspanne, die ben\"{o}tigt wird, um die Inversion abzubauen:
$$\Delta t=\frac{L}{c}$$
Bei typischen Laserabmessungen im Bereich cm...m ergeben sich Pulsl\"{a}ngen im Bereich von ns.
\item[Modenkopplung\hspace{4pt}] (steht nicht im Skript)
\item[Optische Kompression\hspace{4pt}]
Bei der optischen Kompression verwendet man ein nicht-lineares Medium gefolgt von einem Doppelgitter
\begin{description}
\item[nicht-lineares optisches Element\hspace{3pt}]
Beim nicht-linearen Medium l\"{a}sst sich der Brechungsindex $n$ aufteilen in einen linearen Anteil $n_1$ und einen nicht-linearen Anteil $n_2$, der von der Intensit\"{a}t $I(t)$ des Laserpulses abh\"{a}ngig ist:
$$n(\omega,I)=n_1(\omega)+n_2I(t)$$
Der zeitliche Verlauf der Intensit\"{a}t $I(t)$ l\"{a}sst sich aus dessen spektraler Verteilung $I(\omega)$ ableiten gem\"{a}{\ss}: 
$$I(t)=\int I(\omega)e^{i(\omega t-kz)}d\omega$$
Mit $\omega\cdot n(\omega,I)= ck\Leftrightarrow k=\frac{\omega n}{c}$ folgt f\"{u}r die Phase:
\begin{align*}
\phi &=\omega t-kz\\
&=\omega t-\omega n\frac{z}{c}\\
&=\omega \left( t-(n_1+n_2I(t))\frac{z}{c}\right) \\
&=\omega \left( t-(n_1)\frac{z}{c}\right) -\omega n_2\frac{z}{c}I(t)\\
&=\omega \left( t-(n_1)\frac{z}{c}\right) -A\cdot I(t)\\
\Rightarrow \omega =\frac{d\phi}{dt}=\omega _{0}-A\underbrace{\frac{dI(t)}{dt}}_{>0}
\end{align*}
Die Frequenz ist also erst klein, dann go{\ss}. Der lineare Anteil des Brechungsindex f\"{u}hrt zu einer r\"{a}umlichen Verbreiterung, der nicht-lineare Anteil f\"{u}hrt zu einer spektralen Verbreiterung.\\
\item[Doppelgitter\hspace{3pt}]
Das Doppelgitter besteht aus einem Paar planparalleler optischer Gitter. Die Wegl\"{a}nge ist abh\"{a}ngig von der Wellenl\"{a}nge. Große Wellenl\"{a}ngen haben eine große Wegl\"{a}nge zu durchlaufen und kleine Wellenl\"{a}ngen eine kleine Wegl\"{a}nge. Da zuerst die kleinen Frequenzen (also großen Wellenl\"{a}ngen) am Gitter eintreffen, die eine große Wegl\"{a}nge zu durchlaufen haben und dann die großen Frequenzen (also kleinen Wellenl\"{a}ngen) am Gitter eintreffen, die eine kleine Wegl\"{a}nge zu durchlaufen haben, wird das Wellenpaket zeitlich komprimiert. Damit konnte als Rekord ein Laserpuls der L\"{a}nge $4fs$ erzeugt werden.
\end{description}
\end{description}
\item[Aufgaben \hspace{5pt}]
\begin{enumerate}
\item Wie funktioniert ein Laser? Warum ben\"{o}tigt man Besetzungsinversion? (Skript)
\item Was sind Resonator-Moden und wie selektiert man sie? (Skript)
\item Wie funktioniert ein He-Ne-Laser? (Skript)
\item Blatt 12, Aufgabe 27
\item auf S. 278 sind insgesam acht Aufgaben zum Kapitel Laser (Demtr\"{o}der)
\item S.589 Aufgabe 3.14 bis 3.18 k\"{o}nnten mit dem Thema zu tun haben... (Alonso/Finn)
\end{enumerate}
 \item[Quellen: \hspace{5pt}]
\begin{itemize}
\item Skript S. 178-188
\item Demtr\"{o}der S. 255-277
\item Alonso/Finn S. 577-579
\end{itemize}
\end{description}
\end{document}