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\pagestyle{empty}

%opening

\begin{document}
%\maketitle
\sffamily 

\begin{flushright}
	\begin{small}
		Miriam Kümmel\\
		\today 
	 \end{small}
\end{flushright}
\vspace{25pt}


\begin{huge}EP III - Seminar\end{huge}\\

\begin{Large}Operatoren\end{Large}

\vspace{20pt}
\begin{description}
\item[Statistik-Exkurs \hspace{5pt}]
Zur Berechnung des Mittelwertes:
\begin{align*}
<x> & =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i\\
& = \frac{1}{n}\sum_{j=1}^{N}x_j\vert G(x_j)\vert \\
& = \sum_{j=1}^{N}x_j\frac{\vert G(x_j)\vert}{n}\\
& =  \sum_{j=1}^{N}x_jp(x_j)
\end{align*}
wobei $\vert G(x_j)\vert$ die Gr\"{o}\ss e der Gruppe $G(x_j)$ bezeichnet, die alle $x_i$ enth\"{a}lt, die den selben Wert wie $x_j$ haben, und somit die absolute H\"{a}ufigkeit von $x_j$ bezeichnet. Damit ist $\frac{\vert G(x_j)\vert}{n}$  die relative H\"{a}ufigkeit von $x_j$  und $p(x_j):=\frac{\vert G(x_j)\vert}{n}$ die Wahrscheinlichkeit von $x_j$. Offensichtlich gilt $\sum_{j=1}^{N}p(x_j)=1$.
F\"{u}r eine kontinuierliche Verteilungsfunktion $f(x)$ der Gr\"{o}\ss e $x$ mit $\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=1$ gilt:
$$<x>=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx$$
\item[Operatoren in der Quantenmechanik \hspace{5pt}]
Da $\vert \Psi (x)^2\vert =\Psi (x)^{\ast}\Psi (x)$ die Wahrscheinlichkeit ist, das Teilchen mit der Wellenfunktion $\Psi$ am Ort $x$ zu finden, ist der Erwartungwert f\"{u}r den Ort des Teilchens:
\begin{align*}
<x> & =\int _{-\infty}^{\infty}x\vert \Psi (x)^2\vert dx\\
 & =\int _{-\infty}^{\infty}x\Psi (x)^{\ast}\Psi (x)dx\\
 & =\int _{-\infty}^{\infty}\Psi (x)^{\ast}x\Psi (x)dx
\end{align*}
Der Operator $\hat{A}$ zur Obervablen $A$, also der untersuchten physikalischen Gr\"{o}\ss e, ist definiert durch $$<A>=\int_{-\infty}^{\infty}\Psi ^{\ast}\hat{A}\Psi d\tau$$
F\"{u}r jede physikalische Gr\"{o}\ss e, die von Ort und Impuls abh\"{a}ngt, gibt es einen Operator.\newline
Gilt f\"{u}r einen Operator $\hat{A}\Psi = A \Psi$, so ist die Funktion $\Psi$ eine Eigenfunktion des Operators $\hat{A}$ mit dem Eigenwert $A$. Gibt es zu einem Eigenwert mehrere Eigenfunktionen, nennt man ihn entartet. Man kann nur die Eigenwerte messen. Die Eigenfunktionen beschreiben m\"{o}gliche Zust\"{a}nde insoweit $A$ betroffen ist. Die gemessenen Gr\"{o}\ss en sollen reell sein. Die Eigenwerte hermitescher Operatoren sind reell und ihre Eigenfunktionen orthogonal. Daher sind die in der Quantenmechanik verwendeten Operatoren hermitesch:
$$\int \Psi _1^{\ast}\hat{A}\Psi _2d\tau= \int \left( \hat{A}\Psi _2\right) ^{ast}\Psi _1d\tau$$
F\"{u}r $\hat{A}\Psi = A \Psi$ gilt:
\begin{align*}
\Delta A^2 & = <A^2>-<A>^2\\
 & = \int \Psi ^{\ast}\hat{A}^2\Psi d\tau -\left( \int \Psi ^{\ast}\hat{A}\Psi d\tau \right) ^2 \\
 & = A\int \Psi ^{\ast}\hat{A}\Psi d\tau -\left( \int \Psi ^{\ast}A\Psi d\tau \right) ^2 \\
 & = A^2\underbrace{\int \Psi ^{\ast}\Psi d\tau}_{=1} -\left( A\underbrace{\int \Psi ^{\ast}\Psi d\tau}_{=1} \right) ^2  \\
 & = A^2-A^2 =0
\end{align*}
\item[Herleitung einiger Operatoren \hspace{5pt}]
Die station\"{a}re Schr\"{o}dingergleichung
$$-\frac{\hbar ^2}{2m}\bigtriangleup \Psi+E_{pot}\Psi=E\Psi$$
l\"{a}sst sich auch in Operatorschreibweise schreiben:
$\hat{H}\Psi=E\Psi$, wobei der Hamilton-Operator $\hat{H}$ vom Potential $E_{pot}(\vec{r})$ abh\"{a}ngig ist.\newline
Der Operator f\"{u}r die kinetische Energie ergibt sich aus der Schr\"{o}dingergleichung:
\begin{align*}
E_{kin}\Psi =(E-E_{pot})\Psi = -\frac{\hbar ^2}{2m}\bigtriangleup \Psi
\Rightarrow \hat{E}_kin= -\frac{\hbar ^2}{2m}\bigtriangleup 
\end{align*}
Mit der Wellengleichung $\Psi = Ae^{i(kr-\omega t)}=Ae^{\frac{i}{\hbar}(\vec{p}\cdot \vec{x}-E\cdot t)}$ lässt sich aus der Ableitung in kartesischen Koordinaten
\begin{align*}
\frac{\partial \Psi}{\partial x}=\frac{i}{\hbar}p_x\Psi \Rightarrow -i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial x}=p_x\Psi \\
\frac{\partial \Psi}{\partial y}=\frac{i}{\hbar}p_y\Psi \Rightarrow -i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial y}=p_y\Psi \\
\frac{\partial \Psi}{\partial z}=\frac{i}{\hbar}p_z\Psi \Rightarrow -i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial z}=p_z\Psi \\
\Rightarrow -i\hbar \bigtriangledown \Psi = \vec{p} \Psi
\end{align*}
der Impulsoperator zu $\hat{p}=-i\hbar \bigtriangledown$ bestimmen. Dies ist mit dem physikalischen Zusammenhang $E_kin=\frac{p^2}{2m}$ und dem Operator der kinetischen Energie wegen $\frac{(-i\hbar \bigtriangledown =^2}{2m}=-\frac{\hbar ^2}{2m}\bigtriangleup$ konform.\newline
F\"{u}r den Drehimpuls gilt nach der klassischen Physik $\vec{L}=\vec{r}\times \vec{p}$ der Operator ist damit $\hat{L}=\vec{r}\times \left( -i\hbar \bigtriangledown \right) =-i\hbar\left( \vec{r} \times \bigtriangledown \right) $ bzw. in kartesischen Koordinaten:
\begin{align*}
\hat{L}_x=-i\hbar \left( y\frac{\partial}{\partial z}-z\frac{\partial}{\partial y}\right) \\
\hat{L}_y=-i\hbar \left( z\frac{\partial}{\partial x}-x\frac{\partial}{\partial z}\right) \\
\hat{L}_z=-i\hbar \left( x\frac{\partial}{\partial y}-y\frac{\partial}{\partial x}\right) \\
\end{align*}
in Kugelkoordinaten gilt:
\begin{align*}
\hat{L}_x & =i\hbar\left( sin\varphi \frac{\partial}{\partial \vartheta}+cot\vartheta cos\varphi \frac{\partial}{\partial \varphi}\right) \\
\hat{L}_y & = i\hbar \left( -cos\varphi \frac{\partial}{\partial \vartheta}+cot\vartheta sin\varphi \frac{\partial}{\partial \varphi}\right) \\
\hat{L}_z & =-i\hbar \frac{\partial}{\partial \varphi}
\end{align*}
\begin{align*}
\Rightarrow \hat{L}^2=\hat{L}_x^2+\hat{L}_y^2+\hat{L}_z^2
=-\hbar ^2\left( \frac{1}{sin\vartheta}\frac{\partial}{\partial \vartheta}\left( sin\vartheta \frac{\partial}{\partial \vartheta}\right) +\frac{1}{sin^2\vartheta}\frac{\partial ^2}{\partial \varphi ^2}\right) 
\end{align*}
Damit ist $\hat{L}^2$ proportional zum Winkelanteil des Laplace-Operators
$$\bigtriangleup =\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left( r^2\frac{\partial}{\partial r}\right) +\frac{1}{r^2sin\vartheta}\frac{\partial}{\partial \vartheta}\left( sin\vartheta \frac{\partial}{\partial \vartheta}\right) +\frac{1}{r^2}\frac{1}{sin^2\vartheta}\frac{\partial ^2}{\partial \varphi ^2}$$
Das bedeutet, dass die Eigenfunktionen von $\hat{L}^2$ Kugelfunktionen sind, mit
$\Psi (r, \vartheta , \varphi )=R(r)Y_l^m(\vartheta , \varphi)$.
Mit der Kenntnis dass
$\frac{1}{\Theta sin\vartheta}\frac{\partial}{\partial \vartheta}\left( sin\vartheta \frac{\partial \Theta}{\partial \vartheta}\right) -\frac{m^2}{sin^2\vartheta}=-c_2$ und $c_2=l(l+1)$ folgt:
\begin{align*}
\hat{L}^2\Psi & =\hat{L}^2R(r)Y_l^m(\vartheta , \varphi)\\
& = R(r)\hat{L}^2Y_l^m(\vartheta , \varphi) \\
& = R(r)\hat(-\hbar ^2\bigtriangleup _{\vartheta ,\varphi})Y_l^m(\vartheta , \varphi) \\
& = R(r)l(l+1)\hbar ^2Y_l^m(\vartheta , \varphi) \\
& = l(l+1)\hbar ^2\Psi \\
\Rightarrow <\vert L\vert >=\sqrt{l(l+1)}\hbar ^2
\end{align*}
Und für die z-Komponente des Drehimpuls folgt mit $\Psi (r, \vartheta , \varphi )=R(r)\Theta(\vartheta )\Phi (\varphi )$ und $\Phi (\varphi )=e^{im\varphi}$:
\begin{align*}
\hat{L}_z\Psi & =-i\hbar \frac{\partial}{\partial \varphi}R(r)\Theta(\vartheta )\Phi (\varphi )\\
& = -i\hbar R(r)\Theta(\vartheta )\frac{\partial}{\partial \varphi}e^{im\varphi} \\
& = m\hbar \Psi \\
\Rightarrow <L_z>=m\hbar
\end{align*}
\begin{center}
\begin{tabular}{l|c|c}
Physikalische  & klassische Physik & Operator \\ \hline
Ort $\vec{r}$ & $\vec{r}$ & $\vec{r}$ \\ 
Impuls $\vec{p}$ & $\vec{p}$ & $-i\hbar \bigtriangledown$ \\ 
kinetische Energie $E_{kin}$ & $\frac{p^2}{2m}$ & $-\frac{\hbar ^2}{2m}\bigtriangleup$ \\ 
Gesamtenergie $E$ & $E_{kin}+E_{pot}$ & $-\frac{\hbar ^2}{2m}\bigtriangleup +E_{pot}(\vec{r})$ \\ 
Drehimpuls $\vec{L}$ & $\vec{r}\times \vec{p}$ & $-i\hbar\left( \vec{r} \times \bigtriangledown \right) $ \\ 
z-Komponente des Drehimpuls $L_z$ &  & $-i\hbar \dfrac{\partial}{\partial \varphi}$ \\ 
\end{tabular} 
\end{center}
\item[Vertauschbarkeit von Operatoren \hspace{5pt}]
Angenommen, die Funktion $\Psi$ ist Eigenfunktion der beiden Operatoren $\hat{A}$ und $\hat{B}$ mit $\hat{A}\Psi =A\Psi$ und $\hat{B}\Psi =B\Psi$, dann gilt:
\begin{align*}
\hat{A}\hat{B}\Psi = \hat{A}B\Psi =B\hat{A}\Psi = BA\Psi \\
\hat{B}\hat{A}\Psi = \hat{B}A\Psi =A\hat{B}\Psi = AB\Psi \\
\Rightarrow \left( \hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}\right)\Psi =0 \Leftrightarrow \hat{A}\hat{B}\Psi =\hat{B}\hat{A}\Psi \\
\Rightarrow \left[ \hat{A}, \hat{B}\right] :=\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}=0
\end{align*}
d.h. $\hat{A}$ und $\hat{B}$ sind vertauschbar.\newline
Beispiel: Ortsoperator $\hat{x}$ und Impulsoperator $\hat{p}$:
\begin{align*}
\left( \hat{x}\hat{p}-\hat{p}\hat{x}\right)\Psi & = \left( x\left(-i\hbar \frac{d}{dx}\right) -\left(-i\hbar \frac{d}{dx}\right)x\right)\Psi \\
 & =  -i\hbar x\frac{d}{dx}\Psi +i\hbar \frac{d}{dx}\left( x\Psi \right) \\
 & =  \underbrace{-i\hbar x\frac{d}{dx}\Psi +i\hbar x\frac{d}{dx}\Psi }_{=0}+i\hbar \Psi \underbrace{\frac{d}{dx}x}_{=1} =i\hbar \Psi \\
\Rightarrow \left[ \hat{x}, \hat{p}\right]=i\hbar
\end{align*}
\item[Leiteroperatoren \hspace{5pt}]
F\"{u}r den harmonischen Oszillator wird die Schr\"{o}dingergleichung zu
$$-\frac{\hbar ^2}{2m}\bigtriangleup \Psi+\frac{1}{2}\omega ^2mx^2\Psi=E\Psi$$
mit $\xi =x\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}$ und $\varepsilon =\frac{E}{\hbar \omega}$ folgt
$$\Rightarrow \frac{1}{2}\left( -\frac{\partial ^2}{\partial \xi ^2}+\xi ^2 \right) \Psi (\xi ) = \varepsilon \Psi (\xi )$$
Mit dem Ansatz, der Hamilton-Operator lie\ss e sich als Produkt zweier Operatoren darstellen $\hat{H}=b^{\dagger}b$, erh\"{a}lt man:
\begin{align*}
 \underbrace{\frac{1}{\sqrt{2}}\left( -\frac{\partial}{\partial \xi}+\xi \right)}_{=b^{\dagger}} \underbrace{ \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \frac{\partial}{\partial \xi}+\xi \right) \Psi (\xi )}_{=b} =  \frac{1}{2}\left( -\frac{\partial ^2}{\partial \xi ^2}+\xi ^2 \right) \Psi (\xi ) +\underbrace{\frac{1}{2}\left( -\frac{\partial}{\partial \xi}\xi + \xi \frac{\partial}{\partial \xi} \right) \Psi (\xi )}_{=-\frac{1}{2}\left( \Psi (\xi )\frac{\partial}{\partial \xi}\xi +\xi \frac{\partial}{\partial \xi}\Psi (\xi )- \xi \frac{\partial}{\partial \xi}\Psi (\xi ) \right) =-\frac{1}{2}\Psi (\xi )}
\end{align*}
\begin{align*}
\Rightarrow & \left( b^{\dagger}b+\frac{1}{2}\right) \Psi (\xi ) = \varepsilon \Psi (\xi ) &&\\
\Rightarrow & b^{\dagger}b \Psi (\xi ) = \underbrace{\left( \varepsilon -\frac{1}{2}\right) }_{n}\Psi (\xi ) && \vert b\\
\Rightarrow & b^{\dagger}b \Psi (\xi ) = n\Psi (\xi ) &&\\
\Rightarrow & b\left( b^{\dagger}b \Psi (\xi )\right) = b\left( n\Psi (\xi )\right) &&\\
\Rightarrow & bb^{\dagger}\left( b \Psi (\xi )\right) = n\left( b\Psi (\xi )\right) && \vert bb^{\dagger}-b^{\dagger}b=1\\
\Rightarrow & \left( 1+b^{\dagger}b \right) \left( b \Psi (\xi )\right) = n\left( b\Psi (\xi )\right) && \vert -b\Psi (\xi )\\
\Rightarrow & b^{\dagger}b \left( b \Psi (\xi )\right) = \left( n-1\right) \left( b\Psi (\xi )\right) && 
\end{align*}
das bedeutet, dass $b$ den Eigenwert um Eins erniedrigt $b\Psi _n=\sqrt{n}\Psi _{n-1}$. Analog l\"{a}sst sich zeigen, dass $b^{\dagger}$ den Eigenwert erh\"{o}ht $b^{\dagger}\Psi _n=\sqrt{n+1}\Psi _{n+1}$.
\begin{align*}
& b\Psi _0=0\\
\Rightarrow & \left( \frac{\partial}{\partial \xi}+\xi \right) \Psi _0=0\\
\Rightarrow & \Psi _0=Ce^{-\frac{1}{2}\xi ^2}\\
\Rightarrow & \Psi _n=(b^{\dagger})^n\Psi _0
\end{align*}

\item[Aufgaben \hspace{5pt}]
\begin{enumerate}
\item Definieren Sie die Begriffe, Operator, Erwartungswert, Messwert, Eigenwert und Eigenfunktion. (Skript)
\item Was bezeichnet die Aussage, dass zwei Operatoren kommutieren? (Skript)
\item Anwesenheitsaufgaben vom 24.11.
\item Anwesenheitsaufgaben vom 01.12. 
\item Blatt 7, Aufgabe 16
\item Blatt 8, Aufgabe 18
\item Blatt 9, Aufgabe 21
\item Man leite aus den Relationen zwischen kartesischen Koordinaten und Kugelkoordinaten die Darstellungen der x- y- und z-Komponente des Drehimpulsoperators in Kugelkoordinaten und $\hat{L}^2=-\hbar\left( \frac{1}{sin\vartheta}\frac{\partial}{\partial \vartheta}\left( \right) sin\vartheta\frac{\partial}{\partial \vartheta}+\frac{1}{sin^2\vartheta}\frac{\partial ^2}{\partial \varphi ^2}\right) $ her. (Demtr\"{o}der)
\item S.110 Beispiel 2.9 (Alonso/Finn)
\item S.110 Beispiel 2.10 (Alonso/Finn)
\item  Zeigen Sie, dass die Wellenfunktion f\"{u}r freie Teilchen $\Psi(x)=e^{\pm ikx}$ Eigenfunktionen des Impulsoperators sind, die zu den Eigenwerten $\pm \hbar k$ geh\"{o}ren. (Alonso/Finn)
\item Geben Sie an, welche der folgenden Funktionen Eigenfunktionen des Operators $\frac{d}{dx}$ sind: (a) $e^{ikx}$, (b) $e^{a^{x}}$, (c) $sin kx$. Geben Sie jeweils den Eigenwert an. F\"{u}hren Sie die gleiche Betrachtung f\"{u}r den Operator $\frac{d^2}{dx^2}$ durch. (Alonso/Finn)
\item Zeigen Sie, dass der Impulsoperator hermitesch ist. (Hinweis: Integrieren Sie den Ausdruck auf der linken Seite von $\int \Psi _1^{\ast}\hat{A}\Psi _2d\tau= \int \left( \hat{A}\Psi _2\right) ^{ast}\Psi _1d\tau$ partiell mit $\hat{A}$ als Impulsoperator, und ber\"{u}cksichtigen Sie das Verhalten der Wellenfunktionen bei $\pm \infty$)(Alonso/Finn)
\item Bestimmen Sie die Mittel- oder Erwartungswerte von $x$, $x^2$, $p$ und $p^2$ f\"{u}r die Zust\"{a}nde $n=0$ und $n=1$ des linearen harmonischen Oszillators. (Alonso/Finn)
\end{enumerate}
\item[Literatur \hspace{5pt}]
\begin{itemize}
\item Skript S. 79-88
\item Demtr\"{o}der S. 137-142
\item Alonso/Finn S. 104-101
\end{itemize}
\end{description}
\end{document}
