\documentclass[a4paper,10pt]{scrartcl}
%\documentclass[a4paper,10pt]{article}
%\usepackage{ucs}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}

%\usepackage{a4wide}
\usepackage{geometry}
\geometry{a4paper,left=1.2cm,right=1.2cm,top=1.5cm,bottom=1.5cm}
\pagestyle{empty}

%opening

\begin{document}
%\maketitle
\sffamily 

\begin{flushright}
	\begin{small}
		\today 
	 \end{small}
\end{flushright}
\vspace{25pt}


\begin{huge}EP III - Seminar\end{huge}\\

\begin{Large}Schrödingergleichung \end{Large}

\vspace{20pt}
\begin{description}
 \item[Wahrscheinlichkeit\hspace{5pt}]
	Bei der Schrödingergleichung handelt es sich im Allgemeinen um eine \textbf{Wellenfunktion}, die ein oder mehrere Teilchen beschreiben. Man nimmt hierfür dann zunächst den allgemeinen Ansatz einer sich zeitlich und räumlich ändernden Wellenfunktion an. Daraus folgt
		$$\Psi = Ae^{i(kx-\omega t)}$$
		Umstellen liefert für die zeitunabhängige Schrödingergleichung (s. Herleitung)
		$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} + E_{pot}\Psi = E\Psi$$
		oder allgemeiner für dreidimensionale Probleme
		$$\boxed{-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\Psi + E_{pot}\Psi = E\Psi}$$
		Hierbei bezeichnet $E_{pot}$ die potentielle Energie des Teilchens, $E$ dessen Gesamtenergie und $m$ dessen Masse, wobei mit $\Delta$ der Laplace-Operator gemeint ist. Anschaulich beschreibt diese Wellenfunktion in der Regel nichts. Doch beschreibt deren Betragsquadrat die Wahrscheinlichkeit eines Teilchens an einem bestimmten Ort zu sein. Somit ist
		$$\boxed{W(x) = \left|\Psi^2(x)\right|}$$
		Diese Tatsache ist zunächst einmal ein experimenteller Befund. Schrödinger stellte an die Wellenfunktion einige Forderungen. Diese lauten

		\begin{itemize}
			\item $\Psi$ ist \textbf{global stetig}	\\
			\item	$\Psi$ ist \textbf{global differenzierbar}	\\
			\item $\int_{-\infty}^{\infty}{\left|\Psi^2\right|}dV \equiv 1$ (dies bedeutet, dass sich das Teilchen auf jeden Fall irgendwo aufhält)
		\end{itemize}
		Oft wird auch bei Schrödingergleichungen ein Seperationsansatz durchgeführt, indem man sagt
			$$\Psi(x,t) = \Psi(x)\cdot\Psi(t) = \Psi(x)\cdot e^{-i\omega t}$$
		Für die zeitabhängige Schrödingergleichung gilt die DGL
			$$\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\Psi = i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t}$$
		(Diese wurde in der Vorlesung und im Skript allerdings nicht verwendet und steht hier nur der Vollständigkeit halber)
		
\item[freies Teilchen\hspace{5pt}]
		Für ein freies Teilchen (kein äußeres Potential) kann man im Allgemeinen eine ganz normale Wellengleichung annehmen. Somit ist die Schrödingergleichung für freie Teilchen gemäß der Form
		$$\boxed{\Psi_{frei} = Ae^{i(kx-\omega t)} + Be^{-i(kx + \omega t)}}$$	
			
		
\end{description}


\newpage
\begin{huge}EP III - Seminar\end{huge}\\

\begin{Large}Schrödingergleichung (Herleitungen) \end{Large}

\vspace{25pt}
\begin{description}
	\item[Wahrscheinlichkeit (Ziel: Herleitung der stationären Schrödingergleichung)\hspace{5pt}]
	Betrachte zunächst den Standardansatz für Wellengleichungen. Dieser lautet
		$$\Psi = Ae^{i(kx-\omega t)}$$
	Betrachte weiterhin zunächst ein Teilchen, welches lediglich über kinetische Energie und keine potentielle Energie verfügt. Dann gilt
		$$E = E_{kin} + E_{pot} = E_{kin}$$
	Mache nun den Ansatz einer Materiewelle, sodass auch dem Teilchen eine Wellenlänge und eine Frequenz zugeordnet werden kann.
		$$E_{kin} = h\nu = \hbar2\pi\nu = \hbar\omega$$
	Somit gilt 
		\begin{align}
			\omega 	&= \frac{E_{kin}}{\hbar}	\nonumber	\\
						&= \frac{p^2}{2m\hbar}
		\end{align}
	Des weiteren macht man nun einen Ansatz des gequantelten Impulses. Dieser beläuft sich dann auf
		\begin{align}
									p 	&= \hbar k	\nonumber	\\
			\Leftrightarrow	k 	&= \frac{p}{\hbar}
		\end{align}
	Setzt man diese beiden Werte in den Standardansatz ein, so erhält man
		$$\Psi = Ae^{\frac{i}{\hbar}(px - \frac{p^2}{2m}t)}$$
	Als nächstes betrachtet man die Darstellung von $\Psi$ in der allgemeinen Wellenfunktion. Diese war (Erinnerung an "`Grundlagen der Mechanik und E-Dynamik"')
		$$\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} = \frac{1}{v_{phase}^2}\frac{\partial^2 \Psi}{\partial t^2}$$
	Setze nun $\Psi$ in den linken Teil der Gleichung ein. Somit ergibt sich dann
		\begin{align}
			\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} 	&= \frac{\partial^2 Ae^{\frac{i}{\hbar}(px - \frac{p^2}{2m}t)}}{\partial x^2}															\nonumber	\\
																&=	\frac{\partial^2 Ae^{\frac{ipx}{\hbar}}}{\partial x^2}								&&|\Psi(x) := Ae^{\frac{ipx}{\hbar}}	\nonumber	\\
																&=	\frac{\partial^2 \Psi(x)}{\partial x^2} = \left(\frac{ip}{\hbar}\right)^2\Psi(x)													\nonumber	\\
																&= -\frac{p^2}{\hbar^2}\Psi(x) = -\frac{p^2}{\hbar^2}\cdot\frac{2m}{2m}\Psi(x)	&&| E_{kin} = \frac{p^2}{2m}				\nonumber	\\
																&= -\frac{2m}{\hbar^2}\cdot E_{kin}\Psi(x)																										\nonumber	\\
			\Leftrightarrow E_{kin}\Psi(x)			&= -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2}																					\nonumber																
		\end{align}
	Die gleiche Lösung erhält man auch, wenn man direkt nur $\Psi(x)$ ableitet, wodurch sich dann
			\begin{align}
				E_{kin}\Psi(x)	= -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \Psi(x)}{\partial x^2} \label{ekin}
			\end{align}
	ergibt. 
	
	\newpage
	
	Als nächstes nutzt man die Beziehung
			\begin{align}
										E 			&= E_{kin} + E_{pot}							\nonumber	\\
				\Leftrightarrow	E_{kin}\Psi(x) + E_{pot}\Psi(x) &=  E\Psi(x)
			\end{align}
	Nun setzt man noch $(\ref{ekin})$	ein und erhält unmittelbar
		$$ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \Psi(x)}{\partial x^2} + E_{pot}\Psi(x) =  E\Psi(x)$$
	Beziehungsweise für stationäre Wellenfunktionen $(\Psi$ ist nich von $t$ abhängig $)$
		$$\boxed{-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} + E_{pot}\Psi =  E\Psi}$$
	
	
	\item[freies Teilchen (Ziel: Herleitung Schrödingergleichung für ein freies Teilchen)\hspace{5pt}]
	Für ein freies Teilchen gilt zunächst 
		$$E_{pot} = 0$$ 
	Daraus folgt, dass die gesamte Energie kinetische Energie ist und somit E ausgedrückt werden kann durch 
		\begin{align*}
			E = E_{kin} = \frac{p^2}{2m} = \frac{\hbar^2k^2}{2m}	&&&|p = \hbar k
		\end{align*}
		Setzt man dieses nun in die Schrödingergleichung ein, so erhält man
		\begin{align*}
			-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} + E_{pot}\Psi &=  E\Psi 	&&| E_{pot} = 0	\\
			-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} &=  E\Psi	\\
			-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} &=  \frac{\hbar^2k^2}{2m}\Psi	\\
			\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} &=  -k^2\Psi	\\
		\end{align*}
		Die Lösung dieser Differentialgleichung hat dann die Form 
			$$\Psi_{frei} = Ae^{ikx} + Be^{-ikx}$$
		Dies kann man dann ohne Veränderung der Ableitung nach $x$ multiplizieren mit einem rein zeitabhängigen Term, wie $e^{-i\omega t}$. Somit folgt dann 
			$$\boxed{\Psi_{frei} = Ae^{i(kx-\omega t)} + Be^{-i(kx + \omega t)}}$$
\end{description}

\end{document}
